题目内容
某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内,柱高0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,如图(1)所示.

根据设计图纸已知:如图(2)中所示直角坐标系中,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是
y=-x2+2x+.
(1)喷出的水流距水面的最大高度是多少?
(2)如果不计其他因素,那么水池半径至少为多少时,才能使喷出的水流都落在水池内?
(3)若水流喷出的抛物线形状与(2)相同,喷头距水面0.35米,水池的面积为12.25π平方米,要使水流最远落点恰好落到水池边缘,此时水流最大高度达到多少米?
分析:(1)本题是二次函数在实际问题中的运用,y表示水流喷出的高度,x表示水平距离,是二次函数关系,可以利用二次函数的性质解题.
(2)欲使喷出的水流都落在水池内,即(1)中x至少为何值时,y>0,根据方程与不等式间的关系,先解方程y=0即可得出x的值;
(3)在求另外一个二次函数关系式时,确定函数关系式要充分运用条件“水流喷出的抛物线形状与图(2)相同,喷头距水面0.35米”,求解析式.
解答:解:(1)y=-x
2+2x+
=-(x-1)
2+1.8
答:喷出的水流距水面的最大高度为1.8米
(2)当y=0时-x
2+2x+
=0,
即(x-1)
2=1.8,
解得x
1=1+
,x
2=1-
<0(舍去)
答:水池半径至少为(1+
)米.
(3)根据S=πr
2,得12.25π=πr
2,
∴r=3.5m
设抛物线解析式为y=-x
2+bx+0.35(0≤x≤3.5)
把x=3.5,y=0代入,
得0=-3.5
2+3.5b+0.35
解得b=3.4
∴y=-x
2+3.4x+0.35,
即当x=1.7时,y
最大=3.24
答:水流最大高度为3.24米.
点评:本题考查二次函数的实际应用,根据实际问题求二次函数,再运用二次函数求最大值.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.
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