Question

已知实数a满足a＞0且a≠1．命题P：函数y=log_a（x+1）在（0，+∞）内单调递减；命题Q：曲线y=x²+（2a-3）x+1与x轴交于不同的两点．如果“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

分析：当P为真命题时，根据对数型函数单调性的规律得到0＜a＜1；根据一元二次方程根的判别式，得到当Q为真命题时，0＜a＜

1

2

或a＞

5

2

．因为“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，说明命题P、Q中一个为真，另一个为假，最后据此进行分类讨论，可得a的取值范围．

解答：解：先看命题P
∵函数y=log_a（x+1）在（0，+∞）内单调递减，a＞0，a≠1，
∴命题P为真时?0＜a＜1…（2分）
再看命题Q
当命题Q为真时，二次函数对应的一元二次方程根的判别式满足
△=（2a-3）²-4＞0⇒0＜a＜

1

2

或a＞

5

2

…（4分）
由“P∨Q”为真且“P∧Q”为假，知P、Q有且只有一个正确．…（6分）
（1）当P正确且Q不正确?

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

⇒a∈[

1

2

，1)…（9分）
（2）当P不正确且Q正确?

a＞1 0＜a＜ 1 2 或a＞ 5 2

，⇒a∈(

5

2

，+∞)…（12分）
综上所述，a取值范围是[

1

2

，1)∪(

5

2

，+∞)…（14分）

点评：本题以函数的单调性和二次函数零点的问题为载体，考查了命题真假的判断与应用，属于中档题．