Question

（本题14分）已知直线：y=kx+1与双曲线C：2x²-y²=1的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若荐在，求出k的值。若不存在，说明理由。

Answer 1

(Ⅰ) -2<k<-   (Ⅱ)  

解析:

（1）将直线的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x²-y²=1后，整理得(k²-2)x²+2kx+2=0,      依题意，直线与双曲线C的右支交于不同两点，则

      ，解得k的取值范围为-2<k<-.

(2)设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则由①得………①，

假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c,0）,则由FA⊥FB得：（x₁-c）（x₂-c）+y₁y₂=0，即（x₁-c）（x₂-c）+(kx₁+1)(kx₂+1)=0，整理得：

（k²+1）x₁ x₂+（k-c）（x₁ +x₂）+c²+1=0…………………②,

把①式及c=代入②式化简得：，解得或

（舍去）可知使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。