Question

定义域R的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x，若x∈[-4，-2]时，f(x)≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-1]∪（0，3]
• B、(-∞，-

  3

  ]∪(0，

  3

  ]
• C、[-1，0）∪[3，+∞）
• D、[-

  3

  ，0)∪[

  3

  ，+∞)

Answer 1

分析：（1）由x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x及f（x+2）=3f（x）可求得f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8，从而可得
f（x）=

1

9

（x²+6x+8），x∈[-4，-2]，而x∈[-4，-2]时，f(x)≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立可转化为

1

18

(

3

t

-t)≤f(x)min，结合二次函数的知识可先求函数f（x）的最小值，从而可求t的范围

解答：解：∵x∈[-4，-2]
∴x+4∈[0，2]
∵x∈[0，2]时，f（x）=x²-2x
∴f（x+4）=（x+4）²-2（x+4）=x²+6x+8
∵函数f（x）满足f（x+2）=3f（x）
∴f（x+4）=3f（x+2）=9f（x）
∴f（x）=

1

9

（x²+6x+8），x∈[-4，-2]
∵x∈[-4，-2]时，f(x)≥

1

18

(

3

t

-t)恒成立

1

18

(

3

t

-t)≤f(x)min=-

1

9

解不等式可得t≥3或-1≤t＜0
故选C．

点评：解决本题的关键在于“转化”，先将恒成立问题转化为求解函数的最小值问题，再结合二次函数在闭区间上的最值问题，最终得以解决．很多问题在实施“化难为易”、“化生为熟”中得以解决．