题目内容
若∠B=60°，O为△ABC的外心，点P在△ABC所在的平面上，
=
+
+
，且
•
=8，则边AC上的高h的最大值为
| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
| BP |
| BC |
2
| 3 |
2
．| 3 |
分析：根据题意，得点P是△ABC的垂心，从而
•
=0，将
•
化简为
•
=8，结合∠B=60°算出
•
和三角形ABC的面积．利用余弦定理，算出当且仅当
=
=4时，
有最小值为4，结合三角形面积为4
，可得AC上的高h的最大值为2
．
| AP |
| BC |
| BP |
| BC |
| BA |
| BC |
| |BA| |
| |BC| |
| |BA| |
| |BC| |
| |AC| |
| 3 |
| 3 |
解答：
解：∵O为△ABC的外心，
=
+
+
，
∴点P是△ABC的垂心，即P是三条高线的交点
∴
•
=（
+
）
=8
∵
•
=0，∴
•
=8
∵∠B=60°，∴
•
cos60°=8，得
•
=16
根据正弦定理的面积公式，得S△ABC=
•
sin60°=4
∵
2=
2+
2-2
•
cos60°=
2+
2-16
2+
2≥2
•
=32
∴
2≥16，得当且仅当
=
=4时，
有最小值为4
∵S△ABC=
•h=4
，h是边AC上的高
∴h≤
=2
，当且仅当
=
=
=4时，边AC上的高h的最大值为2
故答案为：2
解：∵O为△ABC的外心，| OP |
| OA |
| OB |
| OC |
∴点P是△ABC的垂心，即P是三条高线的交点
∴
| BP |
| BC |
| BA |
| AP |
| BC |
∵
| AP |
| BC |
| BA |
| BC |
∵∠B=60°，∴
| |BA| |
| |BC| |
| |BA| |
| |BC| |
根据正弦定理的面积公式，得S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| |BA| |
| |BC| |
| 3 |
∵
| |AC| |
| |BA| |
| |BC| |
| |BA| |
| |BC| |
| |BA| |
| |BC| |
| |BA| |
| |BC| |
| |BA| |
| |BC| |
∴
| |AC| |
| |BA| |
| |BC| |
| |AC| |
∵S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| |AC| |
| 3 |
∴h≤
8
| ||
|
| 3 |
| |BA| |
| |BC| |
| |AC| |
| 3 |
故答案为：2
| 3 |
点评：本题在△ABC中，已知一个角和两边长度之积，求另一边上高的最大值，着重考查了三角形外心与垂直的联系、平面向量数量积的运算性质和正余弦定理等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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已知直线x=b交双曲线
-
=1(a＞0，b＜0)于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=60°，则此双曲线的渐近线方程是（ ）
| y2 |
| a2 |
| x2 |
| b2 |
A、y=±
| ||||
B、y=±
| ||||
C、y=±
| ||||
D、y=±
|
如图所示，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，
（2013•婺城区模拟）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．
=
+
+
，且
•
=8，则边AC上的高h的最大值为________．