Question

4．已知函数f（x）=$\sqrt{（acosx-1）^{2}+si{n}^{2}x}$
（1）当a=2时，求f（x）的值域；
（2）当且仅当x=2kπ，k∈Z时，f（x）取最小值，求正数a的取值范围；
（3）是否存在正数a，使得对于定义域内的任意x，$\frac{f（x）}{a-cosx}$为定值？若存在，求a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）运用同角的平方关系，化为cosx的式子，由余弦函数的值域，结合二次函数的值域求法，即可得到所求值域；
（2）化f（x）为cosx的式子，讨论a的范围，若a=1，0＜a＜1，1＜a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，a＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时，注意讨论对称轴和区间的关系，结合条件，即可得到所求a的范围；
（3）假设存在正数a，使得对于定义域内的任意x，$\frac{f（x）}{a-cosx}$为定值t，即有f（x）=$\sqrt{（{a}^{2}-1）co{s}^{2}x-2acosx+2}$=t（a-cosx），两边平方，运用恒等式有对应项系数相等，解方程可得a，t，即可判断是否存在．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{（2cosx-1）^{2}+si{n}^{2}x}$
=$\sqrt{4co{s}^{2}x-4cosx+1+si{n}^{2}x}$=$\sqrt{3co{s}^{2}x-4cosx+2}$
=$\sqrt{3（cosx-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{2}{3}}$，
由cosx∈[-1，1]，$\frac{2}{3}$∈[-1，1]，
则cosx=$\frac{2}{3}$时，取得最小值，且为$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
cosx=-1时，取得最大值，且为3．
则f（x）的值域为[$\frac{\sqrt{6}}{3}$，3]；
（2）f（x）=$\sqrt{{a}^{2}co{s}^{2}x-2acosx+1+si{n}^{2}x}$
=$\sqrt{（{a}^{2}-1）co{s}^{2}x-2acosx+2}$，
若a=1，即有f（x）=$\sqrt{2-2cosx}$，由-1≤cosx≤1，
可得cosx=1，即x=2kπ，k∈Z，取得最小值0；
若0＜a＜1时，a²-1＜0，f（x）=$\sqrt{（{a}^{2}-1）（cosx-\frac{a}{{a}^{2}-1}）^{2}+2-\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-1}}$，
设t=cosx（-1≤t≤1），由g（t）=（a²-1）（t-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$）²+2-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-1}$，
由a²-1＜0，可得g（t）的最小值在t=-1或t=1取得，
由1-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$＞$\frac{a}{{a}^{2}-1}$-（-1），即有t=1，即x=2kπ，k∈Z，取得最小值；
若a＞1时，由a²-1＞0，g（t）=（a²-1）（t-$\frac{a}{{a}^{2}-1}$）²+2-$\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}-1}$，
当区间[-1，1]为g（t）的减区间，即1≤$\frac{a}{{a}^{2}-1}$，
解得1＜a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
当a＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$时，区间[-1，1]为先减后增，t=$\frac{a}{{a}^{2}-1}$时，取得最小值，故不成立．
综上可得，a的范围为0＜a≤$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$；
（3）假设存在正数a，使得对于定义域内的任意x，$\frac{f（x）}{a-cosx}$为定值t，
即有f（x）=$\sqrt{（{a}^{2}-1）co{s}^{2}x-2acosx+2}$=t（a-cosx），
即有（a²-1）cos²x-2acosx+2=t²cos²x-2t²acosx+t²a²，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-1={t}^{2}}\\{2a=2a{t}^{2}}\\{2={t}^{2}{a}^{2}}\end{array}\right.$，解得t²=1，a²=2，
由于a＞0，则a=$\sqrt{2}$，t=1．
故存在正数a=$\sqrt{2}$，使得对于定义域内的任意x，$\frac{f（x）}{a-cosx}$为定值1．

点评 本题考查可化为二次函数的值域和最值的求法，注意运用换元法和分类讨论的思想方法，考查存在性问题的解法，注意运用恒等式知识，考查运算能力，属于中档题．