Question

6．直线l经过抛物线y²=4x焦点F，且与抛物线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D．
（I）若直线l的斜率为1，求线段AB的长；
（Ⅱ）求证：直线DB平行于抛物线的对称轴．

Answer 1

分析 （I）抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1，由题意可得直线AB的方程为y=x-1，联立方程可得x²-6x+1=0，根据方程的根与系数的关系可得，x_A+x_B=6，x_A•x_B=1，由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=x_A+1+x_B+1，代入可求
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直线OA的方程为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x=$\frac{4}{{y}_{1}}$x，令x=-1，可得y_D=-$\frac{4}{{y}_{1}}$．设直线AB的方程为：my=x-1，与抛物线的方程联立化为y²-4m-4=0，利用根与系数的关系可得y₁y₂=-4，可得y_D=y₂．即可证明．

解答 （I）解：抛物线y²=4x的焦点F（1，0），准线方程为x=-1
∴直线AB的方程为y=x-1
联立方程y²=4x可得x²-6x+1=0
∴x_A+x_B=6，x_A•x_B=1
由抛物线的定义可知，AB=AF+BF=x_A+1+x_B+1=x_A+x_B+2=8
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直线OA的方程为：y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$x=$\frac{4}{{y}_{1}}$x，令x=-1，可得y_D=-$\frac{4}{{y}_{1}}$．
设直线AB的方程为：my=x-1，
联立方程y²=4x，化为y²-4m-4=0，
∴y₁y₂=-4．
∴y₂=-$\frac{4}{{y}_{1}}$
∴y_D=y₂．
∴直线DB平行于抛物线的对称轴．

点评 本题主要考查了直线与抛物线的位置关系：相交关系的应用，方程的根系数的关系的应用，体现了抛物线的定义的灵活应用．考查了推理能力与计算能力，属于中档题．