题目内容

已知函数 $数学公式$ ．
（1）当x≥1时，证明：不等式f（x）≤x+lnx恒成立；
（2）若数列{a_n}满足 $数学公式$ ，证明数列{b_n}是等比数列，并求出数列{b_n}、{a_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若c_n=a_n•a_n+1•b_n+1（n∈N⁺），证明：c₁+c₂+c₃+…c_n＜ $数学公式$ ．

解：（1）方法一：∵x≥1，∴ $\text{[math]}$
而x≥1时，lnx≥0∴x≥1时，f（x）-x≤lnx，∴当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立．
方法二：令φ（x）=f（x）-x-lnx（x≥1）， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，∵x≥1，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
故φ（x）是定义域[1，+∞）上的减函数，∴当x≥1时，φ（x）≤φ（1）=0恒成立．
即当x≥1时， $\text{[math]}$ 恒成立．∴当x≥1时，f（x）≤x+lnx恒成立．（4分）
（2）a_n+1=f（a_n），∴ $\text{[math]}$ ，∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，∴b_n是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，其通项公式为 $\text{[math]}$ ．
又 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．（10分）
（3）c_n=a_n•a_n+1•b_n+1= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
分析：（1）方法一：先证明f（x）-x≤0，再证明lnx≥0，从而不等式f（x）≤x+lnx恒成立．
方法二：构造函数φ（x）=f（x）-x-lnx；利用导数判断单调性，求出函数最大值φ（1），而φ（1）=0，从而不等式恒成立．
（2）先利用a_n+1=f（a_n）通过取倒数变形，然后根据等比数列的定义，求出公比，从而证得．
（3）利用（2）问中求出的{a_n}的通项公式，代入c_n=a_n•a_n+1•b_n+1中，并用分离法拆成两项之差，然后用叠加法即可解答．
点评：此题考查函数导数的应用，等比数列常规证明及裂项后用叠加的方法．