题目内容
已知函数
。
(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;
(2)当a=
时,求函数在[
,2)上的最值;
(3)函数f(x)在[1,2]上恒有f(x)≥3成立,求a的取值范围。

(1)求证:函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数;
(2)当a=


(3)函数f(x)在[1,2]上恒有f(x)≥3成立,求a的取值范围。
(1)证明:
∵
,
∴
,
∴函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数。
(2)解:
,
由(1)知函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,
∴
,
∴f(x)的最小值为
,此时x=
;无最大值。
(3)解:依题意,
,即
在[1,2]上恒成立,
∵函数
在[1,2]上单调递减,∴
,
∴
,
又a>0,
∴
,即a的取值范围是
。

∵

∴

∴函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数。
(2)解:

由(1)知函数f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数,
∴

∴f(x)的最小值为


(3)解:依题意,


∵函数


∴

又a>0,
∴



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