题目内容

已知f(x)=2sin(x-
π
3
)cos(x-
π
3
)+2
3
cos2(x-
π
3
)-
3

(1)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值;
(2)若函数y=f(2x)-a在区间[0,
π
4
]
上恰有两上零点x1,x2,求tan(x1+x2)的值.
分析:利用三角公式化简函数f(x)=2sin(2x-
π
3

(1)结合正弦函数的性质,把2x-
π
3
看成y=sinx中的“x“分别求解
(2)代入可得y=2sin(4x-
π
3
),换元 t=4x-
π
3
,从而可得 y=2sint,t∈[-
π
3
3
]
,结合正弦函数的图象可求
解答:解(1)cos(x-
π
3
)+2
3
cos2(x-
π
3
)-
3
=sin(2x-
3
)+
3
[1+cos(2x-
3
)]-
3

═sin(2x-120°)+
3
cos(2x-120°)=2sin(2x-60°)
(5分)
∴f(x)的最大值为2,此时2x-
π
3
=
π
2
+2kπ,k∈Z
,即x=
12
+kπ,k∈Z
(7分)
(2)f(2x)=2sin(4x-
π
3
)

t=4x-
π
3
,∵x∈[0,
π
4
]
,∴t∈[-
π
3
3
]

设t1,t2是函数y=2sint-a的两个相应零点(即t1=4x1-
π
3
t2=4x2-
π
3

由y=2sint图象性质知t1+t2=π,即4x1-
π
3
+4x2-
π
3
(10分)
x1+x2=
π
4
+
π
6
,tan(x1+x2)=2+
3
(14分)
点评:本题综合考查了两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的最值(最值的求解一般是整体思想),利用正弦函数的图象求解值的问题,体现了函数中的数形结合的数学思想在解题中的运用.
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