题目内容
已知
f(x)=2sin(x-)cos(x-)+2cos2(x-)-.
(1)求f(x)的最大值及取得最大值时相应的x的值;
(2)若函数y=f(2x)-a在区间
[0,]上恰有两上零点x
1,x
2,求tan(x
1+x
2)的值.
分析:利用三角公式化简函数f(x)=2sin(
2x-)
(1)结合正弦函数的性质,把2x
-看成y=sinx中的“x“分别求解
(2)代入可得y=2sin(
4x-),换元 t=
4x-,从而可得 y=2sint,
t∈[-,],结合正弦函数的图象可求
解答:解(1)
cos(x-)+2cos2(x-)-=
sin(2x-)+[1+cos(2x-)]-═sin(2x-120°)
+cos(2x-120°)=2sin(2x-60°)
(5分)
∴f(x)的最大值为2,此时
2x-=+2kπ,k∈Z,即
x=+kπ,k∈Z(7分)
(2)
f(2x)=2sin(4x-)令
t=4x-,∵
x∈[0,],∴
t∈[-,]设t
1,t
2是函数y=2sint-a的两个相应零点(即
t1=4x1-,t2=4x2-)
由y=2sint图象性质知t
1+t
2=π,即
4x1-+4x2-=π(10分)
∴
x1+x2=+,tan(x1+x2)=2+(14分)
点评:本题综合考查了两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的最值(最值的求解一般是整体思想),利用正弦函数的图象求解值的问题,体现了函数中的数形结合的数学思想在解题中的运用.
练习册系列答案
相关题目