Question

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝2(1)PD.

(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角D—PQ—C的余弦值.

Answer 1

(1)详见解析；（2）

解析试题分析：（1）要证明两个平面垂直，一种方法是只需在一个平面内找另一个平面的一条垂线：另一种方法是可利用若∥，则，由题可知面，则，再证明,则面，从而平面⊥平面；（2）求二面角大小，可建立适当的空间直角坐标系（需在图中找两两相交且垂直的三条直线，先求两个半平面的法向量的夹角，从而可确定二面角的大小.
试题解析：(1)∵面，∴，又,所以面，∴，在直角梯形中，设，则，所以，又,所以面，又面，∴平面⊥平面；
（2）法一）由（1）知两两垂直，故以为坐标原点，的方向分别为轴，建立空间直角坐标系

设，则,设面的法向量，则
则，令，∴，面的法向量，设的夹角为，所以，所以二面角的余弦值为.
法二）由（1）知面，∴就是二面角的平面角，在中，所以.
考点：1、面面垂直的判定；2、二面角的求法.