Question

（2013•宝山区一模）函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的充要条件是 （　　）

A．a²+b²=0

B．a+b=0

C．a=b

D．ab=0

Answer 1

分析：由给出的函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，且0在其定义域中，由f（0）=0求出b的值，再取特殊值f（-1）=-f（1）求出a的值，然后证明当a=b=0时函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，从而可得结论．

解答：解：因为函数f（x）的定义域为[-1，1]，且函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数，
则，f（0）=0，即barccos0=0，
所以，b=0．
再由f（-1）=-f（1），得：
-|arcsin（-1）+a|+barccos（-1）=-|arcsin1+a|+barccos1，
即-|-

π

2

+a|+πb=-|

π

2

+a|，
|-

π

2

+a|=|

π

2

+a|，
所以，a=0
所以，函数f（x）=x|arcsinx+a|+barccosx是奇函数的必要条件是a=0，b=0．
下面证明充分性
若a=0，b=0．
则f（x）=x|arcsinx|，
f（-x）=-x|srxsin（-x）|=-x|-arcsinx|=-x|arcsinx|=-f（x）．
所以f（x）是奇函数．
综上，f（x）是奇函数的充要条件是 a=0且b=0，即a²+b²=0．
故选A．

点评：本题考查了充分条件、必要条件及充要条件的判断．
判断充要条件的方法是：
①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
此题是中档题．