Question

已知全集U=R集合A={x|x²-x-6＜0}，B={x|x²+2x-8＞0}，C={x|x²-4ax+3a²＜0}，若?_U（A∪B）⊆C，则实数a的取值范围是

（-2，-

4

3

）

．

Answer 1

分析：求出A与B中不等式的解集，确定出A与B，求出A与B的并集，找出并集的补集，分a等于0，大于0及小于0三种情况分别表示出集合C中不等式的解集，根据补集为C的子集列出关于a的不等式，求出不等式的解集即可确定出a的范围．

解答：解：集合A={x|x²-x-6＜0}={x|-2＜x＜3}，B={x|x²+2x-8＞0}={x|x＞2或x＜-4}，
∴A∪B={x|x＞-2或x＜-4}，
∵全集为U=R，∴?_U（A∪B）={x|-4≤x≤-2}，
分三种情况考虑：
①当a=0时，集合C=∅，?_U（A∪B）⊆C不成立，舍去；
②当a＞0时，集合C={x|a＜x＜3a}，?_U（A∪B）⊆C不成立，舍去；
③当a＜0时，集合C={x|3a＜x＜a}，要使?_U（A∪B）⊆C成立，则有

3a＜-4 a＞-2

，
解得：-2＜a＜-

4

3

，
综上实数a的范围是（-2，-

4

3

）．
故答案为：（-2，-

4

3

）

点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，以及集合间的包含关系判断及应用，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．