题目内容
(1)证明不等式:
;
(2)已知函数f(x)=ln(1+x)-
在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)若关于x的不等式
在[0,+∞)上恒成立,求实数b的最大值。
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037301982608.png)
(2)已知函数f(x)=ln(1+x)-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037302411062.png)
(3)若关于x的不等式
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037303021722.png)
解:(1)令
,
则
,
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,即g(x)<g(0),
从而
成立;
(2)由
,
当x=0或
时,
,
由已知得
在(0,+∞)上恒成立,
∴
,
又f(x)在(0,+∞)有意义,
∴a≥0,
综上:
;
(3)由已知
在[0,+∞)上恒成立,
∵
,
当x>0时,易得
恒成立,
令
得
恒成立,
由(2)知:令a=2得:ln(1+x)>
,
∴
;
由(1)得:
,
当
时,
;
∴当
时,
不大于
;
∴
;
当x=0时,b∈R,
综上:
。
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037303442617.png)
则
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037303883410.png)
∴g(x)在(0,+∞)上单调递减,即g(x)<g(0),
从而
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037304292057.png)
(2)由
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037304755431.png)
当x=0或
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037305201104.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037305621085.png)
由已知得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037306081142.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037306511153.png)
又f(x)在(0,+∞)有意义,
∴a≥0,
综上:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037306961024.png)
(3)由已知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037307381706.png)
∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037307831742.png)
当x>0时,易得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037308281542.png)
令
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/20120530103730870831.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037309142620.png)
由(2)知:令a=2得:ln(1+x)>
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037309611076.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037310033228.png)
由(1)得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037310608368.png)
当
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/20120530103731102694.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/20120530103731144829.png)
∴当
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/20120530103731188694.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037312311841.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/20120530103731273552.png)
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037313281232.png)
当x=0时,b∈R,
综上:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic1/upload/papers/g02/20120530/201205301037313731105.png)
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