题目内容

（1）设
a
，
b
，是两个非零向量，如果(
a
-3
b
)⊥(7
a
+5
b
)，且(
a
+4
b
)⊥(7
a
+2
b
)，求向量
a
与
b
的夹角大小；
（2）用向量方法证明：设平面上A，B，C，D四点满足条件AD⊥BC，BD⊥AC，则AB⊥CD．
分析：（1））由已知可得，7
a
2-16
a
•
b
-15
b
2=0，7
a
2+30
a
•
b
+8
b
2=0，整理可得
b
2=-2
a
•
b
，
将
b
2=-2
a
•
b
代回原式可得
a
2=-2
a
•
b
，根据向量的夹角公式可求
（2）由AD⊥BC，可得
AD
•
BC
=
AD
•(
AC
-
AB
)=0，同理可得
AC
•
BD
=
AC
•(
AD
-
AB
)=0
要证AB⊥CD即证即
CD
•
AB
=0
解答：解：（1）因为(
a
-3
b
)⊥(7
a
+5
b
)，所以7
a
2-16
a
•
b
-15
b
2=0，
因为(
a
+4
b
)⊥(7
a
+2
b
)，所以7
a
2+30
a
•
b
+8
b
2=0，（2分）
两式相减得46
a
•
b
+23
b
2=0，于是
b
2=-2
a
•
b
，
将
b
2=-2
a
•
b
代回任一式得
a
2=-2
a
•
b
，（6分）
设与的夹角为θ，则cosθ=
a
•
b
|
a
||
b
|
=-
1
2
，
所以与的夹角大小为120°．（8分）
（2）因AD⊥BC，所以
AD
•
BC
=
AD
•(
AC
-
AB
)=0，
因BD⊥AC，所以
AC
•
BD
=
AC
•(
AD
-
AB
)=0，（12分）
于是
AD
•
AC
=
AD
•
AB
，
AC
•
AD
=
AC
•
AB
，
所以
AD
•
AB
=
AC
•
AB
，(
AD
-
AC
)•
AB
=0，（14分）
即
CD
•
AB
=0，所以
CD
⊥
AB
，即AB⊥CD．（16分）
点评：本题主要考查了平面向量的数量积的性质：若
a
⊥
b
?
a
•
b
=0的应用，要证明线段垂直只要证明对应的向量的数量积为0即可，而若知道向量垂直，则可得向量的数量积为0
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相关题目
给出下列四个结论：
（1） 设A、B是两个非空集合，如果按对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有元素y与之对应，则称对应f：A→B为从A到B的映射；
（2） 函数y=x+
2x
在区间[2，+∞）上单调递增；
（3） 若a，b是异面直线，a?平面α，b?平面β，则α∥β；
（4） 两条直线有斜率，如果它们的斜率相等，则它们平行．则其中所有正确结论的序号是
 
．
给出以下5个命题：
①曲线x2-（y-1）2=1按
a
=(1，-2)平移可得曲线（x+1）2-（y-3）2=1；
②设A、B为两个定点，n为常数，|
PA
|-|
PB
|=n，则动点P的轨迹为双曲线；
③若椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，P是该椭圆上的任意一点，延长F1P到点M，使|F2P|=|PM|，则点M的轨迹是圆；
④A、B是平面内两定点，平面内一动点P满足向量
AB
与
AP
夹角为锐角θ，且满足 |
PB
| |
AB
| +
PA
•
AB
=0，则点P的轨迹是圆（除去与直线AB的交点）；
⑤已知正四面体A-BCD，动点P在△ABC内，且点P到平面BCD的距离与点P到点A的距离相等，则动点P的轨迹为椭圆的一部分．
其中所有真命题的序号为
 
．
给出下列两个命题：（1）设a，b，c都是复数，如果a2+b2＞c2，则a2+b2-c2＞0；（2）设a，b，c都是复数，如果a2+b2-c2＞0，则a2+b2＞c2．那么下述说法正确的是（　　）
（1）设
a
，
b
，是两个非零向量，如果(
a
-3
b
)⊥(7
a
+5
b
)，且(
a
+4
b
)⊥(7
a
+2
b
)，求向量
a
与
b
的夹角大小；
（2）用向量方法证明：设平面上A，B，C，D四点满足条件AD⊥BC，BD⊥AC，则AB⊥CD．

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