Question

（2013•陕西）如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A₁O⊥平面ABCD，AB=AA1=

2

．
（Ⅰ） 证明：A₁C⊥平面BB₁D₁D；
（Ⅱ） 求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证明A₁C⊥平面BB₁D₁D，只要证明A₁C垂直于平面BB₁D₁D内的两条相交直线即可，由已知可证出A₁C⊥BD，取B₁D₁的中点为E₁，通过证明四边形A₁OCE₁为正方形可证A₁C⊥E₁O．由线面垂直的判定定理问题得证．
（Ⅱ）以O为原点，分别以OB，OC，OA₁所在直线为x，y，Z轴建立空间直角坐标系，然后求出平面OCB₁与平面BB₁D₁D的法向量，利用法向量所成的角求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ的大小．

解答：（Ⅰ）证明：∵A₁O⊥面ABCD，且BD?面ABCD，∴A₁O⊥BD；
又∵在正方形ABCD中，AC⊥BD，A₁O∩AC=O，
∴BD⊥面A₁AC，且A₁C?面A₁AC，故A₁C⊥BD．
在正方形ABCD中，∵AB=

2

，∴AO=1，
在Rt△A₁OA中，∵AA1=

2

，∴A₁O=1．
设B₁D₁的中点为E₁，则四边形A₁OCE₁为正方形，∴A₁C⊥E₁O．
又BD?面BB₁D₁D，且E₁0?面BB₁D₁D，且BD∩EO=O，
∴A₁C⊥面BB₁D₁D；
（Ⅱ）解：以O为原点，分别以OB，OC，OA₁所在直线为x，y，Z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则B（1，0，0），C（0，1，0），A₁（0，0，1），B₁（1，1，1），

A1C

=(0，1，-1)．
由（Ⅰ）知，平面BB₁D₁D的一个法向量

n1

=

A1C

=(0，1，-1)，

OB1

=(1，1，1)，

OC

=(0，1，0)．
设平面OCB₁的法向量为

n2

=(x，y，z)，
由

n2 • OB1 =0 n2 • OC =0

，得

x+y+z=0 y=0

，取z=-1，得x=1．
∴

n2

=(1，0，-1)．
则cosθ=|cos＜

n1

，

n2

＞|=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

1

2 • 2

=

1

2

．
所以，平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角θ为

π

3

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法考查了利用向量求二面角的平面角，解答的关键是建立正确的空间右手系，是中档题．