题目内容

若曲线 $数学公式$ 与曲线y=1-4x³在x=x₀处的切线互相垂直，则x₀=________．

$\text{[math]}$
分析：根据导数的几何意义分别求出两函数在x=x₀处的导数，得到两切线的斜率，再根据在x=x₀处的切线互相垂直则斜率乘积等于-1建立等式关系，解之即可．
解答：∵y′= $\text{[math]}$ x，y′=-12x²∴y′|_x=x0= $\text{[math]}$ x₀，y′|_x=x0=-12x₀²根据曲线 $\text{[math]}$ 与曲线y=1-4x³在x=x₀处的切线互相垂直可知
$\text{[math]}$ x₀•（-12x₀²）=-1
解得x₀= $\text{[math]}$
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两条直线垂直等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，属于基础题．