Question

附加题：（二选一，请将解题过程解答在相应的框内，答错位置不给分；多答按第一问给分，不重复给分）
（1）已知a，b，c＞0，且a²+b²=c²，求证：aⁿ+bⁿ＜cⁿ（n≥3，n∈R⁺）
（2）已知x，y，z＞0，则

x2+y2+xy

+

y2+z2+yz

＞

z2+x2+xz

．

Answer 1

分析：（1）利用指数函数y=a^x当0＜a＜1时单调递减即可证明；
（2）利用余弦定理和三角形的两边之和大于第三边即可证明．

解答：证明：（1）∵a²+b²=c²，且a，b，c＞0，∴(

a

c

)2+(

b

c

)2=1，
∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1．
∴当n≥3时，(

a

c

)n＜(

a

c

)2，(

b

c

)n＜(

b

c

)2，
∴(

a

c

)n+(

b

c

)n＜(

a

c

)2+(

b

c

)2=1，
∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ．
（2）作∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，设|OA|=x，|OB|=y，|OC|=z．
由余弦定理得|AB|=

x2+y2-2xycos120°

=

x2+y2+xy

，
同理|BC|=

y2+z2+yz

，|AC|=

x2+z2+xz

．
根据三角形的两边之和大于第三边可得：
|AB|+|BC|＞|AC|，
∴

x2+y2+xy

+

y2+z2+yz

＞

z2+x2+xz

．

点评：熟练掌握指数函数的单调性、余弦定理、三角形两边之和大于第三边的性质是解题的关键．