题目内容

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 $数学公式$ 的焦点，离心率等于 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的右焦点F作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若 $数学公式$ ， $数学公式$ ，求证：λ₁+λ₂为定值．

解：（1）设椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ，则由题意知b=1．…（2分）∴ $\text{[math]}$ ．∴a²=5．…（4分）
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．…（5分）
（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（0，y₀）．
又易知F点的坐标为（2，0）．…（6分）
显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2）．…（7分）
将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得（1+5k²）x²-20k²x+20k²-5=0．…（8分）∴ $\text{[math]}$ ．…（9分）
又∵ $\text{[math]}$ ．（11分）∴ $\text{[math]}$ ．…（12分）
分析：（1）根据椭圆C的一个顶点恰好是抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点，离心率等于 $\text{[math]}$ ．易求出a，b的值，得到椭圆C的方程．
（2）设A、B、M点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设直线l的斜率为k，则直线l的方程是y=k（x-2），然后采用“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”，结合已知中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求出λ₁+λ₂值，即可得到结论．
点评：本题考查的知识点是椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题，其中根据已知条件计算出椭圆的标准方程是解答本题的关键．