Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=3，其前n项和S_n满足以下关系式S_n+1+S_n-1=2S_n+1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2ⁿ•a_n，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设P_n=4ⁿ+（-1）^n-1•λ•2^a_n（λ为非零整数，n∈N^*），试确定λ的值，使得对任意n∈N^*，有P_n+1＞P_n恒成立．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1，（n≥2，n∈N^*），从而数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列，由此能求出a_n=n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=2ⁿ•a_n=2ⁿ•（n+1），由此利用错位相减法能求出T_n=n•2ⁿ⁺¹．
（Ⅲ）由已知得Pn=4n+(-1)n-1•λ•2n+1，要使P_n+1＞P_n恒成立，而（-1）^n-1•λ＜2^n-1恒成立，由此能求出存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有P_n+1＞P_n．

解答： 解：（Ⅰ）由已知得（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=1，（n≥2，n∈N^*），
即a_n+1-a_n=1，n≥2，n∈N^*），且a₂-a₁=1，
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公差为1的等差数列，
∴a_n=n+1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得b_n=2ⁿ•a_n=2ⁿ•（n+1），
∴T_n=2×2+3×2²+4×2³+…+n×2^n-1+（n+1）×2ⁿ，①
2T_n=2×2²+3×2³+4×2⁴+…+n×2ⁿ+（n+1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2×2+2²+2³+…+2ⁿ-（n+1）×2ⁿ⁺¹=-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=n•2ⁿ⁺¹．
（Ⅲ）解：∵a_n=n+1，∴Pn=4n+(-1)n-1•λ•2n+1，
要使P_n+1＞P_n恒成立，
则Pn+1-Pn=4n+1-4n+(-1)n•λ•2n+2-(-1)n-1•λ•2n+1＞0恒成立
∴3•4ⁿ-3λ•（-1）^n-1•2ⁿ⁺¹＞0恒成立，
∴（-1）^n-1•λ＜2^n-1恒成立．
（ⅰ）当n为奇数时，即λ＜2^n-1恒成立，
当且仅当n=1时，2^n-1有最小值为1，∴λ＜1．
（ⅱ）当n为偶数时，即λ＞-2^n-1恒成立，当且仅当n=2时，-2^n-1有最大值-2，
∴λ＞-2．即-2＜λ＜1，又λ为非零整数，则λ=-1．
综上所述，存在λ=-1，使得对任意n∈N^*，都有P_n+1＞P_n．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．