Question

冬天，洁白的雪花飘落时十分漂亮．为研究雪花的形状，1904年，瑞典数学家科克（Koch Heige Von）把雪花理想化，得到了雪花曲线，也叫科克曲线．它的形成过程如下：
（i）将正三角形（图①）的每边三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边，得到图②；
（ii）将图②的每边三等分，重复上述作图方法，得到图③；
（iii）再按上述方法无限多次继续作下去，所得到的曲线就是雪花曲线．
将图①、图②、图③…中的图形依次记作M₁、M₂、…、M_n…设M₁的边长为1．
求：（1）M_n的边数a_n；
    （2）M_n的边长L_n；
    （3）M_n的面积S_n的极限．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题知：a_n递推公式为，从而可知{a_n}为等比数列，故可求通项公式
（2）由题知：每个图形的边长都相等，且长度变为原来的，从而边长b_n的递推公式为，故可求）M_n的边数L_n；
（3）当由M_n-1生成M_n时，每条边上多了一个面积为的小等边三角形，共有a_n-1个．从而可求M_n的面积S_n，进而可求极限．
解答：解：（1）由题知：a_n递推公式为
所以{a_n}为等比数列，其通项公式为a_n=3•4^n-1   
（2）由题知：每个图形的边长都相等，且长度变为原来的，
所以边长b_n的递推公式为
∴
（3）当由M_n-1生成M_n时，每条边上多了一个面积为的小等边三角形，共有a_n-1个．
∴
∵
∴
∴
∴M_n的面积S_n的极限为
点评：本题以实际问题为载体，考查数列模型的构建，考查数列的极限，有一定的综合性．