Question

如图所示，流程图给出了无穷整数数列{a_n}满足的条件，a₁∈N₊，且当k=5时，输出的S=-

5

9

；当k=10时，输出的S=-

10

99

．
（1）试求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）是否存在最小的正数M使得T_n≤M对一切正整数n都成立，若存在，求出M的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

1 a1a2 + 1 a2a3 +…+ 1 a5a6 =- 5 9 1 a1a2 + 1 a2a3 +…+ 1 a10a11 =- 10 99

，从而可得

a1a6=-9 a1a11=-99

两式相减得：a₁（a₁₁-a₆）=-90，即a₁d=-18又∵a₁d=a₆所以可求数列通项；
（2）由题意可得Tn=14+

2n-7

2n-1

，进一步有当n≥5时，T_n+1-T_n＜0；当n≤4时，T_n+1-T_n＞0，从而当n=5时，T_n有最大值，进而将问题转化为利用最值解决恒成立问题．

解答：解：（1）由题设知

1 a1a2 + 1 a2a3 +…+ 1 a5a6 =- 5 9 1 a1a2 + 1 a2a3 +…+ 1 a10a11 =- 10 99

又∵{a_n}是等差数列，设公差为d，
∴

1 d ( 1 a1 - 1 a6 )=- 5 9 1 d ( 1 a1 - 1 a11 )=- 10 99 .

即

a1a6=-9 a1a11=-99.

两式相减得：a₁（a₁₁-a₆）=-90，即a₁d=-18
又∵a₁d=a₁（a₁+5d）=a₁²-90，∴a₁²=81，
∴a₁=9，a₁=-9舍，∴d=-2，∴a_n=11-2n
（2）Tn=

9

20

+

7

21

+

5

22

+…+

11-2n

2n-1

．①
①式两边同乘

1

2

得

1

2

Tn=

9

21

+

7

22

+…+

13-2n

2n-1

+

11-2n

2n

．②
②-①得(1-

1

2

)Tn=

9

20

+

-2

21

+

-2

22

…+

-2

2n-1

-

11-2n

2n

．
∴

1

2

Tn=9-2(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

11-2n

2n

=9-2(1-

1

2n-1

)-

11-2n

2n

∴Tn=14+

2n-7

2n-1

又∵Tn+1-Tn=

2n-5

2n

-

2n-7

2n-1

=

9-2n

2n

．
当n≥5时，∵T_n+1-T_n＜0；当n≤4时，
∵T_n+1-T_n＞0∴当n=5时，T_n有最大值

227

16

．
∵T_n≤M恒成立，∴M≥

227

16

，
∴M的最小值为

227

16

．

点评：本题考查数列、算法与函数的综合问题，本题解题的关键利用错位相减法求数列的和，再用函数的思想来解题，本题是一个综合题目，难度可以作为高考卷的压轴题．