题目内容

曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的右支，已知它的右准线方程为l： $数学公式$ ，一条渐近线方程是 $数学公式$ ，线段PQ是过曲线C右焦点F的一条弦，R是弦PQ的中点．
（1）求曲线C的方程；
（2）当点P在曲线C上运动时，求点R到y轴距离的最小值；
（3）若在直线l的左侧能作出直线m：x=a，使点R在直线m上的射影S满足 $数学公式$ =0．当点P在曲线C上运动时，求a的取值范围．

解：（1）设双曲线C的方程为： $\text{[math]}$ （x $\text{[math]}$ ），λ＞0
则它的右准线方程为x= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
由已知可得， $\text{[math]}$
∴λ=1
故所求双曲线方程为 $\text{[math]}$ （x≥1）
（2）由（1）知，曲线C的右焦点F（2，0）
若弦PQ的斜率存在，则弦PQ的方程y=k（x-2），代入双曲线方程可得
（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则 $\text{[math]}$
解得：k²＞3，
点R到y轴距离： $\text{[math]}$
而当弦PQ的斜率不存在时，点R到y轴距离|x_R|=2．
所以点R到y轴距离的最小值为2．…8′
（3）∵点R在直线m上的射影S满足 $\text{[math]}$ =0，
$\text{[math]}$ …①
∵ $\text{[math]}$
∴PQ=PF+QF=2（x₁+x₂-1）=4x_R-2②
②代入①可得2x_R-1=x_R-a
∴x_R=1-a
∵|x_R|≥2，a $\text{[math]}$
∴a≤-1
分析：（1）由渐近线方程可设双曲线C的方程为： $\text{[math]}$ （x $\text{[math]}$ ），λ＞0然后根据准线方程可求λ，即可求解
（2）由（1）知F，设处出弦PQ的方程y=k（x-2），代入双曲线方程，根据方程的根与系数关系可求k的范围，然后根据点R到y轴距离及所求k的范围即可求解；当弦PQ的斜率不存在时，点R到y轴距离容易求解
（3）由 $\text{[math]}$ =0，可知△PSR为直角三角形，可求R到直线m的距离，结合双曲线的焦半径公式可得x_R与a之间的关系，结合|x_R|≥2，a $\text{[math]}$ 可求
点评：本题主要考查了由双曲线的性质求解双曲线方程，直线与双曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用是求解直线与曲线相交关系常用的方法