Question

计算

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

，可以采用以下方法：构造恒等式

C

0 n

+

C

1 n

x+

C

2 n

x2+…+

C

n n

xn=(1+x)n，两边对x求导，得

C

1 n

+2

C

2 n

x+3

C

3 n

x2+…+n

C

n n

xn-1=n(1+x)n-1，在上式中令x=1，得

C

1 n

+2

C

2 n

+3

C

3 n

+…+n

C

n n

=n•2n-1．类比上述计算方法，计算

C

1 n

+22

C

2 n

+32

C

3 n

+…+n2

C

n n

=

n（n+1）•2^n-2

．

Answer 1

分析：对C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1，两边同乘以x整理后再对x求导，最后令x=1代入整理即可得到结论．

解答：解：对C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1，两边同乘以x得：
xC_n¹+2C_n²x²+3C_n³x³+…+nC_nⁿxⁿ=n•x•（1+x）^n-1，
再两边对x求导
得到：C_n¹+2²C_n²x+3²C_n³x²+…+n²C_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1+n（n-1）x（1+x）^n-2
在上式中令x=1，得C_n¹+2²C_n²+3²C_n³+…+n²C_nⁿ=n•2^n-1+n（n-1）•2^n-2=n（n+1）2^n-2．
故答案为：n（n+1）2^n-2．

点评：本题主要考查二项式定理的应用．是道好题，解决问题的关键在于对C_n¹+2C_n²x+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1=n（1+x）^n-1，两边同乘以x整理后再对x求导，要是想不到这一点，就变成难题了．