Question

20、设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10-x∈S．
（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合S？若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；
（3）由（1）、（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？

Answer 1

分析：（1）根据设非空集合S具有如下性质：①元素都是正整数；②若x∈S，则10-x∈S．知：元素只有一个时，即x=10-x，即x=5；元素有二个时，即两个正数的和为10；元素有三个时，必有一个元素5，另外两个正数的和为10
（2）6个元素的集合S，元素必须要是1，9；2，8；3，7；4，6；中任意选三对
（3））①s⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9}；
②若5∈s，则s中的元素个数为奇数个，
若5∉s，则s中的元素个数为偶数个；
③符合题意的S共有31个

解答：解：（1）一个：5
    二个：1，9等
    三个：1，5，9等
（2）存在．一共有四个
S=1，2，3，7，8，9或S=1，2，4，6，8，9或S=1，3，4，6，7，9或S=2，3，4，6，7，8
（3）①s⊆{1，2，3，4，5，6，7，8，9}；
②若5∈s，则s中的元素个数为奇数个，
若5∉s，则s中的元素个数为偶数个；
③符合题意的S共有31个．等等

点评：本题考查了元素与集合关系的判断，对知识的总结能力，属于基础题．