题目内容

如图：⊙O方程为x²+y²=4，点P在圆上，点D在x轴上，点M在DP延长线上，⊙O交y轴于点N， $数学公式$ ∥ $数学公式$ ．且 $数学公式$ ．
（I）求点M的轨迹C的方程；
（II）设F₁（0， $数学公式$ ）、F₂（0，- $数学公式$ ），若过F₁的直线交（I）中曲线C于A、B两点，求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（I）设P（x₀，y₀），M（x，y），
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ …（3分）
∵⊙O方程为x²+y²=4，点P在圆上，
∴x₀²+y₀²=4
∴ $\text{[math]}$
∴点M的轨迹C的方程为 $\text{[math]}$ …（5分）
（II）①当直线AB的斜率不存在时，显然 $\text{[math]}$ =-4； …（6分）
②当直线AB的斜率存在时，不妨设AB的方程为：y=kx+ $\text{[math]}$ 与椭圆方程联立，消去y可得（9+4k²）x²+8 $\text{[math]}$ kx-16=0
不妨设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =（1+k²）x₁x₂+2 $\text{[math]}$ k（x₁+x₂）+20=（1+k²）× $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ k× $\text{[math]}$ +20=-4+ $\text{[math]}$ …（10分）
∵9+4k²≥9，∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ …（11分）
综上所述， $\text{[math]}$ 的范围是 $\text{[math]}$ …（12分）
分析：（I）利用 $\text{[math]}$ ，确定P，M坐标之间的关系，利用⊙O方程为x²+y²=4，点P在圆上，即可求得点M的轨迹C的方程；
（II）①当直线AB的斜率不存在时，显然 $\text{[math]}$ =-4；②当直线AB的斜率存在时，设AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可得到结论．
点评：本题考查代入法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，解题的关键是联立方程，利用韦达定理进行求解．