题目内容

已知棱长等于2
3
的正方体ABCD-A1B1C1D1,它的外接球的球心为O,点E是AB的中点,点P是球O的球面上任意一点,有以下判断:①该正方体外接球的体积是36π;②异面直线OE与B1C所成角为90°;③PE长的最大值为3+
6
;④过点E的平面截球O的截面面积的最小值为6π.其中所有正确判断的序号是
①②③
①②③
分析:根据正方体外接圆的直径是正方体的体对角线可求外接圆的半径;当过球内一点E的截面与OE垂直时,截面面积最小可求截面半径;
球面上到球内一点距离最大时,是在球的直径的一个端点上等知识求解.
解答:解:∵外接球的半径R=
(2
3
)
2
+(2
3
)
2
+(2
3
)
2
2
=3,∴V=
4
3
π×27=36π,∴①√;
∵OE∥BC1,BC1⊥B1C,∴OE⊥B1C,∴②√;
∵当P、E、O在一条直线时,PE长最大,∴PE长的最大值是R+
(2
3
)
2
+(2
3
)
2
2
=3+
6
,∴③√;
∵当过点E的平面与OE垂直时,截面面积最小,r=
R2-|OE|2
=
3
,S=π×3=3π,∴④×;
 故答案是①②③
点评:本题考查空间几何体的体积、面积计算及接体问题,找准量化关系是关键.
练习册系列答案
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