Question

篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为P．
（1）若投篮1次得分记为ξ，求方差Dξ的最大值；
（2）当（1）中Dξ取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意ξ服从两点分布，Dξ=（0-p）²×（1-p）+（1-p）²×p，（0＜p＜1），转化为二次函数求最值．
（2）由（1）可知P=

1

2

，投5次蓝得分为 η，则η～B（5，

1

2

）．利用贝努利概型即可求出运动员甲投5次篮得分为4分概率．

解答：解：（1）依题意，ξ的分布列为

ξ	0	1
P	1-p	p

…（1分）
∴Dξ=（0-p）²×（1-p）+（1-p）²×p=-（p-

1

2

）²+

1

4

                     …（4分）
∴当p=

1

2

时，Dξ取最大值，且最大值为

1

4

        …（6分）
（2）由（1）可知P=

1

2

，投5次蓝得分为 η，则η～B（5，

1

2

）  …（8分）
那么P（η=4）=C

4 5

(

1

2

)4×

1

2

=

5

32

         （11分）
则运动员甲投5次篮得分为4分概率为

5

32

．      …（12分）

点评：本题考查两点分布的期望和方差，及函数的最值问题，本题将概率知识与函数知识很好的结合，难度不大．