题目内容
（2012•成都模拟）根据定义在集合A上的函数y=f（x），构造一个数列发生器，其工作原理如下：
①输入数据x0∈A，计算出x1=f（x0）；
②若x0∉A，则数列发生器结束工作；
若x0∈A，则输出x1，并将x1反馈回输入端，再计算出x2=f（x1）．并依此规律继续下去．
现在有A={x|0＜x＜1}，f(x)=
（m∈N*）．
（1）求证：对任意x0∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{xn}；
（2）若x0=
，记an=
（n∈N*），求数列{an}的通项公式；
（3）在得条件下，证明
＜xm≤
（m∈N*）．
①输入数据x0∈A，计算出x1=f（x0）；
②若x0∉A，则数列发生器结束工作；
若x0∈A，则输出x1，并将x1反馈回输入端，再计算出x2=f（x1）．并依此规律继续下去．
现在有A={x|0＜x＜1}，f(x)=
| mx |
| m+1-x |
（1）求证：对任意x0∈A，此数列发生器都可以产生一个无穷数列{xn}；
（2）若x0=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| xn |
（3）在得条件下，证明
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
分析：（1）当x∈A，即0＜x＜1 时，由m∈N*，可知0＜f（x）＜1，即f（x）∈A，故对任意x0∈A，有x1=f（x0）∈A，由 x1∈A 有x2=f（x1）∈A，以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列；
（2）易证{bn}是以
为首项，以
为公比的等比数列，从而求出bn=(
)n，从而求出an=(
)n+1；
（3）要证
＜xm≤
，即证3≤(
)m+1＜4，只需证2≤(1+
)m＜3，当m∈N*时，利用二项式定理以及放缩法证明不等式即可．
（2）易证{bn}是以
| m+1 |
| m |
| m+1 |
| m |
| m+1 |
| m |
| m+1 |
| m |
（3）要证
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| m+1 |
| m |
| 1 |
| m |
解答：解：（1）当x∈A，即0＜x＜1 时，由m∈N*，可知m+1-x＞0，
∴
＞0
又
-1=
＜0
∴
＜1
∴0＜f（x）＜1，即f（x）∈A
故对任意x0∈A，有x1=f（x0）∈A，
由 x1∈A 有x2=f（x1）∈A，
x2∈A 有x3=f（x2）∈A；
以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列
（2）由xn+1=f（xn）=
，可得
=
•
-
，
∴an+1=
an-
，
即an+1=
(an-1)．
令bn=an-1，则bn+1=
bn，
又b1=
≠0，
所以{bn}是以
为首项，以
为公比的等比数列．
bn=(
)n，即an=(
)n+1
（3）要证
＜xm≤
，即证3≤(
)m+1＜4，只需证2≤(1+
)m＜3，
当m∈N*时，
有(1+
)m=
(
)0+
(
)1+…+
(
)m≥2，
因为，当k≥2 时，
由
(
)k=
＜
≤
-
．
所以，当m≥2时(1+
)m=
(
)0+
(
)1+…+
(
)m，
＜1+1+（1-
）+（
-
）+…（
-
）=3-
＜3
又当m=1时，2≤(1+
)m=2＜3，
所以对于任意m∈N*，都有 (1+
)m＜3
所以对于任意m∈N*，都有证
＜xm≤
．
∴
| mx |
| m+1-x |
又
| mx |
| m+1-x |
| (m+1)(x-1) |
| m+1-x |
∴
| mx |
| m+1-x |
∴0＜f（x）＜1，即f（x）∈A
故对任意x0∈A，有x1=f（x0）∈A，
由 x1∈A 有x2=f（x1）∈A，
x2∈A 有x3=f（x2）∈A；
以此类推，可一直继续下去，从而可以产生一个无穷数列
（2）由xn+1=f（xn）=
| mxn |
| m+1-xn |
| 1 |
| xn+1 |
| m+1 |
| m |
| 1 |
| x |
| 1 |
| m |
∴an+1=
| m+1 |
| m |
| 1 |
| m |
即an+1=
| m+1 |
| m |
令bn=an-1，则bn+1=
| m+1 |
| m |
又b1=
| m+1 |
| m |
所以{bn}是以
| m+1 |
| m |
| m+1 |
| m |
bn=(
| m+1 |
| m |
| m+1 |
| m |
（3）要证
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| m+1 |
| m |
| 1 |
| m |
当m∈N*时，
有(1+
| 1 |
| m |
| C | 0 m |
| 1 |
| m |
| C | 1 m |
| 1 |
| m |
| C | m m |
| 1 |
| m |
因为，当k≥2 时，
由
| C | k m |
| 1 |
| m |
| m(m-1)…(m-k+1 ) |
| m |
| 1 |
| k! |
| 1 |
| k! |
| 1 |
| k-1 |
| 1 |
| k |
所以，当m≥2时(1+
| 1 |
| m |
| C | 0 m |
| 1 |
| m |
| C | 1 m |
| 1 |
| m |
| C | m m |
| 1 |
| m |
＜1+1+（1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n-1 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n |
又当m=1时，2≤(1+
| 1 |
| m |
所以对于任意m∈N*，都有 (1+
| 1 |
| m |
所以对于任意m∈N*，都有证
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
点评：本题主要考查了等比数列的通项公式，以及无穷数列的证明和二项式定理证明不等式，属于难题．
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