某联欢晚会举行抽奖活动.举办方设置了甲.乙两种抽奖方案.方案甲的中奖率为$\frac{2}{3}$.中奖可以获得2分,方案乙的中奖率为$\frac{2}{5}$.中奖可以获得3分,未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会.每次抽奖中奖与否互不影响.晚会结束后凭分数兑换奖品．(1)若小明选择方案甲抽奖.小红选择方案乙抽奖.记他们的累计得分为X.求X� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为$\frac{2}{3}$，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为$\frac{2}{5}$，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，分别求两种方案下小明、小红累计得分的分布列，并指出他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

分析（1）由已知得，小明中奖的概率为$\frac{2}{3}$，小红中奖的概率为$\frac{2}{5}$，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，则事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三个两两互斥的事件，由此能求出这2人的累计得分X≤3的概率．
（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X₁，由已知得X₁的所有可能取值为0，2，4，分别求出相应的概率，由此能求出X₁的分布列和E（X₁）；小明、小红都选择方案乙所获得的累计得分为X₂，由已知得X₂的所有可能取值为0，3，6，分别求出相应的概率，由此能求出X₂的分布列和E（X₂），从而得到他们都选择方案甲进行投资时，累计得分的数学期望较大．

解答（本题满分12分）
解：（1）由已知得，小明中奖的概率为$\frac{2}{3}$，小红中奖的概率为$\frac{2}{5}$，
且两人中奖与否互不影响．记“这2人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含有“X=0”，“X=2”，“X=3”三个两两互斥的事件，…（1分）
因为P（X=0）=（1-$\frac{2}{3}$）×（1-$\frac{2}{5}$）=$\frac{1}{5}$，
P（X=2）=$\frac{2}{3}$×（1-$\frac{2}{5}$）=$\frac{2}{5}$，
P（X=3）=（1-$\frac{2}{3}$）×$\frac{2}{5}$=$\frac{2}{15}$，
所以P（A）=P（X=0）+P（X=2）+P（X=3）=$\frac{11}{15}$，
即这2人的累计得分X≤3的概率为$\frac{11}{15}$．…（5分）
（2）设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X₁，由已知得X₁的所有可能取值为0，2，4，
P（X₁=0）=$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{9}$，
P（X₁=2）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}+\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
P（X₁=4）=$\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{4}{9}$，
∴X₁的分布列如下：

X₁	0	2	4
P	$\frac{1}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{4}{9}$

E（X₁）=0×$\frac{1}{9}$+2×$\frac{4}{9}$+4×$\frac{4}{9}$=$\frac{8}{3}$，…（9分）
小明、小红都选择方案乙所获得的累计得分为X₂，由已知得X₂的所有可能取值为0，3，6，
P（X₂=0）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{9}{25}$，
P（X₂=3）=$\frac{3}{5}×\frac{2}{5}+\frac{2}{5}×\frac{3}{5}$=$\frac{12}{25}$，
P（X₂=6）=$\frac{2}{5}×\frac{2}{5}$=$\frac{4}{25}$，
∴X₂的分布列如下：