题目内容

设Q、G分别为△ABC的外心和重心,已知A(-1,0),B(1,0),QG∥AB.
(1)求点C的轨迹E.
(2)轨迹E与y轴两个交点分别为A1,A2(A1位于A2下方).动点M、N均在轨迹E上,且满足A1M⊥A1N,试问直线A1N和A2M交点P是否恒在某条定直线l上?若是,试求出l的方程;若不是,请说明理由.
分析:(1)设C(x,y),由A(-1,0),B(1,0),知G(
x
3
y
3
)
,由Q是外心,且QG∥AB,能求出点C的轨迹E.
(2)由A1(0,-
3
),A2(0,
3
)
,设A1N的方程为y=kx-
3
,由A1N⊥A1M,知A1M的方程为y=-
1
k
x-
3

代入方程x2+
y2
3
=1
得(3+k2)x2+2
3
kx=0,由此能够推导出点P在定直线y=-2
3
上.
解答:解:(1)设C(x,y),
∵A(-1,0),B(1,0),
G(
x
3
y
3
)
…(2分)
又∵Q是外心,且QG∥AB
Q(0,
y
3
)
…(2分)
∵|QA|=|QC|
1+
y2
9
=x2+
4y2
9

x2+
y2
3
=1(y≠0)
…(7分)
(2)由(1)可知A1(0,-
3
),A2(0,
3
)

设A1N的方程为y=kx-
3
,∵A1N⊥A1M
∴A1M的方程为y=-
1
k
x-
3

代入方程x2+
y2
3
=1
得:(3+k2)x2+2
3
kx=0,…(8分)
解得x1=0,x2=
-2
3
k
3k2+1
,…(10分)
代入方程y=-
1
k
x-
3

可得M(
-2
3
k
3k2+1
3
-3
3
k2
3k2+1
)
…(11分)
kA2M=
3
-3
3
k2
3k2+1
-
3
-2
3
k
3k2+1
=3k

∴A2M的方程为y=3kx+
3
…(13分)
∴由
y=kx-
3
y=3kx+
3
⇒P(-
3
k
,-2
3
)

∴点P在定直线y=-2
3
上.…(15分)
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.
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