题目内容

(1)求点C的轨迹E.
(2)轨迹E与y轴两个交点分别为A1,A2(A1位于A2下方).动点M、N均在轨迹E上,且满足A1M⊥A1N,试问直线A1N和A2M交点P是否恒在某条定直线l上?若是,试求出l的方程;若不是,请说明理由.
分析:(1)设C(x,y),由A(-1,0),B(1,0),知G(
,
),由Q是外心,且QG∥AB,能求出点C的轨迹E.
(2)由A1(0,-
),A2(0,
),设A1N的方程为y=kx-
,由A1N⊥A1M,知A1M的方程为y=-
x-
,
代入方程x2+
=1得(3+k2)x2+2
kx=0,由此能够推导出点P在定直线y=-2
上.
x |
3 |
y |
3 |
(2)由A1(0,-
3 |
3 |
3 |
1 |
k |
3 |
代入方程x2+
y2 |
3 |
3 |
3 |
解答:
解:(1)设C(x,y),
∵A(-1,0),B(1,0),
∴G(
,
)…(2分)
又∵Q是外心,且QG∥AB
∴Q(0,
)…(2分)
∵|QA|=|QC|
∴1+
=x2+
,
即x2+
=1(y≠0)…(7分)
(2)由(1)可知A1(0,-
),A2(0,
),
设A1N的方程为y=kx-
,∵A1N⊥A1M
∴A1M的方程为y=-
x-
,
代入方程x2+
=1得:(3+k2)x2+2
kx=0,…(8分)
解得x1=0,x2=
,…(10分)
代入方程y=-
x-
可得M(
,
)…(11分)
∴kA2M=
=3k,
∴A2M的方程为y=3kx+
…(13分)
∴由
⇒P(-
,-2
)
∴点P在定直线y=-2
上.…(15分)

∵A(-1,0),B(1,0),
∴G(
x |
3 |
y |
3 |
又∵Q是外心,且QG∥AB
∴Q(0,
y |
3 |
∵|QA|=|QC|
∴1+
y2 |
9 |
4y2 |
9 |
即x2+
y2 |
3 |
(2)由(1)可知A1(0,-
3 |
3 |
设A1N的方程为y=kx-
3 |
∴A1M的方程为y=-
1 |
k |
3 |
代入方程x2+
y2 |
3 |
3 |
解得x1=0,x2=
-2
| ||
3k2+1 |
代入方程y=-
1 |
k |
3 |
可得M(
-2
| ||
3k2+1 |
| ||||
3k2+1 |
∴kA2M=
| ||||||||
|
∴A2M的方程为y=3kx+
3 |
∴由
|
| ||
k |
3 |
∴点P在定直线y=-2
3 |
点评:本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力,具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识,解题时要注意合理地进行等价转化.

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