题目内容
已知双曲线
(a＞0，b＞0)的左顶点为A(-1，0)，过点A作两条直线分别交双曲线的右支于B(x1，y1)、C(x2，y2)两点，且ABC为正三角形.(Ⅰ)证明：B、C两点关于x轴对称；
(Ⅱ)设x1＞2，求b的取值范围.
(Ⅰ)证：∵|AB|=|AC|,∴(x1+x2)2+
=(x2+1)2+
∵a=1 ∴
∴(x1+1)2+b2(
-1)=(x2+1)2+b2(
-1)
整理，得 (x1-x2)[(x1+x2)(1+b2)+2]=0
∵x1＞0,x2＞0,∴(x1+x2)(1+b2)+2＞0
∴x1=x2
∴BC⊥x轴，根据双曲线的对称性，B、C关于x轴对称
(Ⅱ)解:(法一)根据(Ⅰ)及∠A=
,设AB的方程为y=
(x+1)
代入x2-
=1并整理，得
(3b2-1)x2-2x-(3b2+1)=0
∵-1,x1是方程的两根，且x1＞2
∴3b2-1＞0,且-1·x1=
∴
∵b＞0,∴b的取值范围为(
)
(法二)根据(Ⅰ)及∠A=60°,得y1=
(x1+1)
∵B(x1,y1)在双曲线x2-
=1上，
∴
整理得b2=
∵x1＞2,∴0＜1+
＜3,∴
＜b2＜1
∵b＞0,∴
＜b＜1,∴b的取值范围是(
,1).
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