题目内容

已知双曲线 $数学公式$ - $数学公式$ =1（a＞0，b＞0）的离心率e= $数学公式$ ，直线l过A（a，0），B（0，-b）两点，原点O到直线l的距离是 $数学公式$ ．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若 $数学公式$ • $数学公式$ =-23，求直线m的方程．

解：（1）依题意，l方程 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，即bx-ay-ab=0，由原点O到l的距离为 $\text{[math]}$ ，得
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，又e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴b=1，a= $\text{[math]}$ ．
故所求双曲线方程为 $\text{[math]}$ -y²=1．
（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx-1，
则点M、N坐标（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程组 $\text{[math]}$ 的解，
消去y，得（1-3k²）x²+6kx-6=0．①
依题意，1-3k²≠0，由根与系数关系，
知x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁-1）（kx₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +1= $\text{[math]}$ +1．
又∵ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =-23，
∴ $\text{[math]}$ +1=-23，k=± $\text{[math]}$ ，
当k=± $\text{[math]}$ 时，方程①有两个不相等的实数根，
∴方程为y= $\text{[math]}$ x-1或y=- $\text{[math]}$ x-1．
分析：（1）先求出直线l的方程，再点到直线的距离公式建立关于a，b，c的方程，解这个方程求出a，b，从而得到双曲线的方程．
（2）设m方程为y=kx-1，则点M、N坐标（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程组 $\text{[math]}$ 的解，消去y，得（1-3k²）x²+6kx-6=0．由根与系数关系和题设条件推导出k的值，从而求出直线m的方程．
点评：本题是双典线的综合题，重点考查双曲线的性质及其应用，具有一定的难度．解题时要注意根与系数的关系的灵活运用．