题目内容

已知
a
=(cos
3θ
2
，sin
3θ
2
)，
b
=(cos
θ
2
，-sin
θ
2
)，且θ∈[0，
π
3
]．求
a
•
b
|
a
+
b
|
的最值．
分析：先根据向量的数量积运算表示出
a
•
b
，再由θ的范围确定|
a
+
b
|的表达式，从而代入可以得到
a
•
b
|
a
+
b
|
=cosθ-
1
2cosθ
，令t=cosθ代入转化为函数y=t-
1
2t
，t∈[
1
2
，1]，再由其单调性可解题．
解答：解：
a
•
b
=cos
3θ
2
cos
θ
2
-sin
3θ
2
sin
θ
2
=cos2θ
∵θ∈[0，
π
3
]?∴|
a
+
b
|=
12+12+2cos2θ
=
2(1+cos2θ)
=
2•2cos2θ
=|2cosθ|=2cosθ
所以
a
•
b
|
a
+
b
|
=
cos2θ
2cosθ
=
2cos2θ-1
2cosθ
=cosθ-
1
2cosθ

因为θ∈[0，
π
3
]，所以cosθ∈[
1
2
，1]，
又函数y=t-
1
2t
在t∈[
1
2
，1]上是增函数
当cosθ=1，即θ=0时，
a
•
b
|
a
+
b
|
取得最大值
1
2
；
当cosθ=
1
2
，即θ=
π
3
时，
a
•
b
|
a
+
b
|
取得最小值-
1
2
．
点评：本题主要考查向量的数量积运算、向量模的运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点，每年必考．
练习册系列答案
相关题目
已知
a
=（cos
3θ
2
，sin
3θ
2
），
b
=(cos
θ
2
，-sin
θ
2
)，且θ∈[0，
π
3
]
（I）求
a
•
b
|
a
+
b
|
的最值；
（II）是否存在k的值使|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|？
已知
a
=（cos
3θ
2
，sin
3θ
2
），
b
=（cos
θ
2
，-sin
θ
2
），且θ∈[0，
π
3
]．
（1）若|
a
+
b
|=1，试求θ的值；
（2）求
a
•
b
|
a
+
b
|
的最值．
（2013•合肥二模）已知f（x）是偶函数，当．x∈[0，
π
2
]时，f（x）=xsinx，若a=f（cos1），b=f（cos2），c=f（cos3），则 a，b，c 的大小关系为（　　）
已知
a
=(cos
3θ
2
，sin
3θ
2
)，
b
=(cos
θ
2
，-sin
θ
2
)，且θ∈[0，
π
3
]．求
a
•
b
|
a
+
b
|
的最值．

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