Question

抛物线y=g（x）经过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值．
（1）用m，x表示f（x）=0．
（2）比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）．
（3）若m+n≤2

2

，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=（x）均相切，求y=f（x）

Answer 1

分析：（1）先设抛物线方程y²=kx（x-m），把点P代入抛物线方程求得k，进而可得抛物线方程可得．
（2）f（x）=（x-n）g（x）求得函数f（x）的表达式，求导，根据函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，可知f′（a）=0，f′（b）=0，根据m＞n可知f′（m）＞0，f′（n）＜0，进而可判断b＜n＜a＜m．
（3）设切点Q（x₀，y₀）进而可根据函数f（x）的导函数求得斜率，根据y₀=x₀³-（m+n）x₀²+mnx₀，可得切线的方程，又根据切线过原点，进而可得-x₀³-（m+n）x₀²-mnx₀=-3x₀³-2（m+n）x₀²+mnx₀，求得x₀，分别表示出两切线的斜率m+n≤2

2

，确定k₁k₂的范围，进而根据两条切线垂直可知k₁k₂=-1，推断出上式等号成立，有m+n=2

2

，且mn=1．进而求得函数f（x）的表达式．

解答：解：（1）由抛物线经过点O（0，0）A（m，0），设抛物线方程y=kx（x-m），k≠0，
又抛物线过点P（m+1，m+1），则m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1，
所以y=g（x）=x（x-m）=x²-mx．
（2）f（x）=（x-n）g（x）=x（x-m）（x-n）=x³-（m+n）x²+mnx，
f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn，函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，
故f′（a）=0，f′（b）=0，∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m²-2（m+n）m+mn=m²-mn=m（m-n）＞0
f′（n）=3n²-2（m+n）+mn=n²-mn=n（n-m）＜0
又b＜a，故b＜n＜a＜m．
（3）设切点Q（x₀，y₀），则切线的斜率k=f′（x₀）=3x₀²-2（m+n）x₀+mn
又y₀=x₀³-（m+n）x₀²+mnx₀，，所以切线的方程是
y=x₀³-（m+n）x₀²-mnx₀=[3x₀²-2（m+n）x₀+mn]（x-x₀）
又切线过原点，故-x₀³-（m+n）x₀²-mnx₀=-3x₀³-2（m+n）x₀²+mnx₀，
所以2x₀³-（m+n）x₀²=0，解得x₀=0，或x₀=

m+n

2

．
两条切线的斜率为k₁=f′（0）=mn，k₂=f′（

m+n

2

），
由m+n≤2

2

，得（m+n）²≥8，∴-

1

4

（m+n）²≥-2，
∴k₂=f′（

m+n

2

）=

3(m+n)2

4

-2（m+n）•

m+n

2

+mn=-

1

4

（m+n）²+mn≥mn-2
所以k₁k₂=（mn）²-2mn=（mn-1）²-1≥-1，
又两条切线垂直，故k₁k₂=-1，所以上式等号成立，有m+n=2

2

，且mn=1．
所以f（x）=x3-（m+n）x²+mnx=x³-2

2

x²+x．

点评：本题主要考查而来抛物线的应用和导函数的应用．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．