Question

某人在自己的经济林场种植了杨树、沙柳等植物．一次种植了n株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望Eξ=3，标准差σξ为．
（1）求n，p的值
（2）若一株沙柳成活，则一年内通过该株沙柳获利100元，若一株沙柳不能成活，一年内通过该株沙柳损失30元，求一年内该人通过种植沙柳获利的期望．

Answer 1

解：（1）由二项分布的结论：Eξ=np，（σξ）²=np（1-p）
可得，
得，从而
答：n，p的值分别为6和．
（2）设η为该人通过种植沙柳所获得的利润，
则η=100ξ-30（6-ξ）=130ξ-180
所以：Eη=130Eξ-180=210
答：一年内该人通过种植沙柳获利的期望约为210．
分析：（1）根据题意，这是一个n次独立重复试验的模型，其随机变量的分布服从二项分布．根据教材中的结论：二项分布的数学期望为Eξ=np，方差等于Dξ=np（1-p），再结合题中所给的数据解方程组，可得n，p的值；
（2）结合公式η=100ξ-30（n-ξ）=130ξ-30n，再根据（1）的计算结果，最终可得获利的期望为Eη=130Eξ-180
=210．
点评：本题以二项分布与n次独立重复试验的模型为载体，着重考查了离散型随机变量的期望与方差的有关公式等知识点，属于中档题．本题运用的公式较多，请同学们注意加强记忆．