Question

已知a+b+c=

1

a

+

1

b

+

1

c

=1，求证a、b、c中至少有一个等于1．

Answer 1

分析：由 a+b+c=

1

a

+

1

b

+

1

c

=1，将式子进行变形整理，得出（a+c）（a+b）（b+c）=0，即（1-b）（1-c）（1-a）=0从而得出原命题正确．

解答：证明：本题即要证明 a-1、b-1、c-1中至少有一个为零．
∵a+b+c=

1

a

+

1

b

+

1

c

=1，∴（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=1，
∴（a+b+c）（ab+ac+bc）-abc=0，∴（a+b+c）[b（a+c）+ac（a+b+c）]-abc=0，
∴（a+b+c）b（a+c）+ac（a+c）=0，∴（a+c）（ab+b²+bc+ac）=0，
∴（a+c）（a+b）（b+c）=0，∴（1-b）（1-c）（1-a）=0，
故1-b、1-c、1-a中至少有一个等于0，∴a，b，c 中至少有一个等于1．

点评：此题主要考查了分式的等式证明，由已知得出（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=1，进而得出（1-b）（1-c）（1-a）=0，即（1-b）（1-c）（1-a）=0，从而解决问题，属于中档题．