Question

某射手每次射击击中目标的概率是

2

3

，且各次射击的结果互不影响．
（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率
（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标．另外2次未击中目标的概率；
（Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记ξ为射手射击3次后的总的分数，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（I）由题意知每次射击击中目标的概率是

2

3

，且各次射击的结果互不影响，设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B(5，

2

3

)．利用二项分布的概率公式得到结果，
（II）有3次连续击中目标．另外2次未击中目标包括三种情况，即连续的三次射击在第一位，在第二位，在第三位，这三种情况是互斥的，根据独立重复试验和互斥事件的概率公式得到结果．
（III）ξ为射手射击3次后的总的分数，由题意知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6，结合变量对应的事件，写出变量的概率，写出分布列．

解答：解：（1）每次射击击中目标的概率是

2

3

，且各次射击的结果互不影响
设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X～B(5，

2

3

)．
在5次射击中，恰有2次击中目标的概率P(X=2)=C52×(

2

3

)2×(1-

2

3

)3=

40

243

（Ⅱ）设“第i次射击击中目标”为事件A_i（i=1，2，3，4，5）；
“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A，则P(A)=P(A1A2A3

.

A4

.

A5

)+P(

.

A1

A2A3A4

.

A5

)+P(

.

A1

.

A2

A3A4A5)
=(

2

3

)3×(

1

3

)2+

1

3

×(

2

3

)3×

1

3

+(

1

3

)2×(

2

3

)3
=

8

81

（Ⅲ）由题意可知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，6
P(ζ=0)=P(

.

A1

.

A2

.

A3

)=(

1

3

)3=

1

27

P(ζ=1)=P(A1

.

A2

.

A3

)+P(

.

A1

A

.

_A3

)+P(

.

A1

.

A2

A3)
=

2

3

×(

1

3

)2+

1

3

×

2

3

×

1

3

+(

1

3

)2×

2

3

=

2

9

P(ζ=2)=P(A1

.

A2

A3)=

2

3

×

1

3

×

2

3

=

4

27

P(ζ=3)=P(A1A2

.

A3

)+P(

.

A1

A2A3)=(

2

3

)2×

1

3

+

1

3

×(

1

3

)2=

8

27

P（ζ=6）=P（A₁A₂A₃）=(

2

3

)3=

8

27

∴ξ的分布列是

点评：本题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．