Question

如图，已知△AOB中，OA=b，OB=a，∠AOB=θ（a≥b，θ是锐角），作AB₁⊥OB，B₁A₁∥BA；再作A₁B₂⊥OB，B₂A₂∥BA；如此无限连续作下去，设△ABB₁，△A₁B₁B₂，…的面积为S₁，S₂，…求无穷数列S₁，S₂，…的和．

Answer 1

【答案】分析：首先用a，b，θ表示出AB₁和BB₁进而表示出△B₁AB，进而表示出，发现数列{S_n}为等比数列，公比为根据其小于1，推断此数列为递缩等比数列．进而通过数列{S_n}的前n项和的极限求得答案．
解答：解：AB₁=bsinθ，BB₁=a-bcosθ
（对一切n≥1成立，此时视AB为AB）
∵△ABB₁∽△A₁B₁B₂∽△A₂B₂B₃∽，
=bsinθ（a-bcosθ），
∵△OAB₁∽△OA₁B₁∽△OA₂B₂…
∴===，
∴，
即公比Q=．
∵θ是锐角，a≥b，
∴0＜＜1，
∴数列S₁，S₂，S₃，是无穷递缩等比数列，
点评：本题主要考查了等比数列的求和问题．做题的关键是从题设的条件中归纳出等比数列．