Question

已知关于x的方程kx=sinx（k为正常数）在区间（-3π，3π）内有且仅有5个实数根，从小到大依次为x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，则x₁与tanx₁的大小关系为（　　）

A．x₁＞tanx₁

B．x₁＜tanx₁

C．x₁=tanx₁

D．以上都有可能

Answer 1

分析：将方程根的问题转化为图象的交点问题，先画图（如下），再观察交点个数即得．

解答：解：由原方程得sinx=kx（x≠0），
设函数f（x）=sinx，g（x）=kx，它们的图象如图所示：
方程得sinx=kx 在（-3π，3π）内有且仅有5个根，
x₁必是函数g（x）=kx与f（x）=sinx在（-3π，-2π）内相切时切点的横坐标，
 即切点为（x₁，sinx₁），故 g（x）=kx是f（x）=sinx的切线，k=cosx₁，
再由sinx₁=kx₁=cosx₁ x₁，故x₁=tanx₁ ，
故选C．

点评：数形结合是重要的数学思想，以形助数，直观简捷，从而利用函数图象可以进一步发现函数性质，并能利用函数图象解决实际问题，属于中档题．