题目内容
如图，O是正方形ABCD的中心，PO⊥面ABCD，E是PC的中点．
，
．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求异面直线PA和BE所成的角．
（1）证明：∵PO⊥底面ABCD，BD?面ABCD，∴PO⊥BD…2分
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC…4分
∵PO∩AC=O，PO?平面PAC，AC?平面PAC
∴BD⊥平面PAC…6分
（2）解：连接OE，
∵O是正方形ABCD的中心，∴OA=OC…7分
在△PAC中，E是PC的中点
∴OE∥PA且
…8分
∴∠OEB是异面直线PA和BE所成的角 …9分
在正方形ABCD中，，∴
…10分
在Rt△POA中，OA=OB=1，，∴
…11分
∴
…12分
由（1）知BD⊥平面PAC，且OE?平面PAC，∴BD⊥OE
∴在Rt△BOE中，
…13分
∴∠OEB=30°，即异面直线PA和BE所成的角是30°…14分
分析：（1）利用线面垂直的性质可得PO⊥BD，结合ABCD是正方形，利用线面垂直的判定可得结论；
（2）连接OE，证明∠OEB是异面直线PA和BE所成的角，在Rt△BOE中，求异面直线PA和BE所成的角．
点评：本题考查线面垂直，考查异面直线所成的角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC…4分
∵PO∩AC=O，PO?平面PAC，AC?平面PAC
∴BD⊥平面PAC…6分
（2）解：连接OE，
∵O是正方形ABCD的中心，∴OA=OC…7分
在△PAC中，E是PC的中点
∴OE∥PA且
…8分∴∠OEB是异面直线PA和BE所成的角 …9分
在正方形ABCD中，
，∴…10分在Rt△POA中，OA=OB=1，
，∴…11分∴
…12分由（1）知BD⊥平面PAC，且OE?平面PAC，∴BD⊥OE
∴在Rt△BOE中，
…13分∴∠OEB=30°，即异面直线PA和BE所成的角是30°…14分
分析：（1）利用线面垂直的性质可得PO⊥BD，结合ABCD是正方形，利用线面垂直的判定可得结论；
（2）连接OE，证明∠OEB是异面直线PA和BE所成的角，在Rt△BOE中，求异面直线PA和BE所成的角．
点评：本题考查线面垂直，考查异面直线所成的角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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