题目内容
（2012•东城区二模）对于数列{an} （n=1，2，…，m），令bk为a1，a2，…，ak中的最大值，称数列{bn}为{an}的“创新数列”．例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7．定义数列{Cn}：c1，c2，c3，…，cm是自然数1，2，3，…，m（m＞3）的一个排列．
（Ⅰ）当m=5时，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{Cn}；
（Ⅱ）是否存在数列{Cn}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{Cn}，若不存在，请说明理由．
（Ⅰ）当m=5时，写出创新数列为3，4，4，5，5的所有数列{Cn}；
（Ⅱ）是否存在数列{Cn}，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{Cn}，若不存在，请说明理由．
分析：（Ⅰ）由题意可得，创新数列为3，4，4，5，5的所有数列 {Cn}有两个．
（Ⅱ）存在数列{Cn}，使它的创新数列为等差数列．设数列{Cn} 的创新数列为{ en}，若{ en}为等差数列，设其公差为d，经过检验，当d=0或1时，存在数列{Cn}，使它的创新数列为等差数列．
（Ⅱ）存在数列{Cn}，使它的创新数列为等差数列．设数列{Cn} 的创新数列为{ en}，若{ en}为等差数列，设其公差为d，经过检验，当d=0或1时，存在数列{Cn}，使它的创新数列为等差数列．
解答：解：（Ⅰ）由题意可得，创新数列为3，4，4，5，5的所有数列 {Cn}有两个，即数列3，4，1，5，2；
或数列3，4，2，5，1． …（4分）
（Ⅱ）存在数列{Cn}，使它的创新数列为等差数列．
设数列{Cn} 的创新数列为{ en}，（n=1，2，3，4…，m），
因为em 是 c1，c2，c3，…，cm 中的最大值，所以 em=m．
由题意知，ek为 c1，c2，c3，…ck 中最大值，所以，ek≤ek+1，且 ek∈{1，2，3，…，m}．
若{ en}为等差数列，设其公差为d，则d=ek+1-ek≥0 且d∈N．
当d=0 时，{ en}为常数列，又 em=m，所以数列{ en}为 m，m，…，m．
此时数列{Cn}是首项为m的任意一个符合条件的数列． …（8分）
当d=1时，因为em=m，所以数列{ en} 为1，2，…，m．
此时，数列{cn} 为1，2，3，…，m． …（10分）
当d≥2时，因为 em=e1+（m-1）d≥e1+（m-1）2=2m-2+e1，
又m＞3，e1 为正整数，所以 em＞m，这与 em=m 矛盾，所以此时{ en}不存在，即不存在{Cn}使得它的创新数列为公差d≥2的等差数列．…（13分）
综上，当数列{Cn}为以m为首项的任意一个符合条件的数列，或{Cn}为数列1，2，3，…，m时，它的创新数列为等差数列．…（14分）
或数列3，4，2，5，1． …（4分）
（Ⅱ）存在数列{Cn}，使它的创新数列为等差数列．
设数列{Cn} 的创新数列为{ en}，（n=1，2，3，4…，m），
因为em 是 c1，c2，c3，…，cm 中的最大值，所以 em=m．
由题意知，ek为 c1，c2，c3，…ck 中最大值，所以，ek≤ek+1，且 ek∈{1，2，3，…，m}．
若{ en}为等差数列，设其公差为d，则d=ek+1-ek≥0 且d∈N．
当d=0 时，{ en}为常数列，又 em=m，所以数列{ en}为 m，m，…，m．
此时数列{Cn}是首项为m的任意一个符合条件的数列． …（8分）
当d=1时，因为em=m，所以数列{ en} 为1，2，…，m．
此时，数列{cn} 为1，2，3，…，m． …（10分）
当d≥2时，因为 em=e1+（m-1）d≥e1+（m-1）2=2m-2+e1，
又m＞3，e1 为正整数，所以 em＞m，这与 em=m 矛盾，所以此时{ en}不存在，即不存在{Cn}使得它的创新数列为公差d≥2的等差数列．…（13分）
综上，当数列{Cn}为以m为首项的任意一个符合条件的数列，或{Cn}为数列1，2，3，…，m时，它的创新数列为等差数列．…（14分）
点评：本题主要考查创新数列的定义，等差数列的定义和性质，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
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