Question

抛物线x²=8y的准线与y轴交于点A，点B在抛物线对称轴上，过A可作直线交抛物线于点M、N，使得

.

BM•

.

MN

=-

. MN 2

2

，则|

OB

|的取值范围是

（6，+∞）

．

Answer 1

分析：由题意可设直线MN的方程为y=kx-2，M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中点E（x₀，y₀），联立方程

y=kx-2 x2=8y

可得x²-8kx+16=0，由△＞0可求k的范围，由方程的根与系数关系及中点坐标公式可求MN的中点E，由

.

BM

•

MN

=-

. MN 2

2

可得BE⊥MN即M在MN的垂直平分线，则MN的垂直平分线与y轴的交点即是B，令x=0可求B的纵坐标，从而可求得|

OB

|的范围．

解答：解：由题意可得A（0，-2），直线MN的斜率k存在且k≠0
设直线MN的方程为y=kx-2，联立方

y=kx-2 x2=8y

得x²-8kx+16=0，
设M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中点E（x₀，y₀），
则△=64k²-64＞0，即k²＞1，
x₁+x₂=8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-4+8k²，
∴x₀=4k，y₀=-2+4k²即E（4k，-2+4k²）．
∵

.

BM

•

MN

=-

. MN 2

2

，
∴2

.

BM

•

MN

+|

MN

|2=0，即2

MN

•（

.

BM

+

ME

）=0，而

.

BM

+

ME

=

.

BE

，
∴BE⊥MN即点B在MN的垂直平分线上，
∵MN的斜率为k，E（4k，-2+4k²）．
∴MN的垂直平分线BE的方程为：y-4k²+2=-

1

k

（x-4k），与y轴的交点即是B，
令x=0可得，y=2+4k²，
则|

OB

|=2+4k²＞6．
故答案为：（6，+∞）．

点评：本题主要考查了向量的数量积的性质的应用，直线与抛物线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于向量知识的综合应用，属于难题．