Question

函数y=f（x）对于x＞0有意义，且满足条件f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），f（x）是增函数．
（1）证明：f（1）=0；
（2）若f（x）+f（x-3）≥2成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令x=2，y=1，并代入f（xy）=f（x）+f（y），即可求出f（1）的值；
（2）令x=2，y=2，代入求得f（4），结合题意可将f（x）+f（x-3）≥2转化为f（x²-3x）≥f（4），结合函数的单调性与函数的定义域，可得

x＞0 x-3＞0 x2-3x≥4

，解可得x的值．

解答：解：（1）在f（xy）=f（x）+f（y）中，令x=2，y=1，则f（2×1）=f（2）+f（1），
又由f（2）=1，则f（1）=0；
（2）令x=2，y=2，则f（2×2）=f（4）=f（2）+f（2）=2，
所以f（x）+f（x-3）=f（x²-3x）≥f（4），
又f（x）为增函数
所以

x＞0 x-3＞0 x2-3x≥4

，
综上，x≥4．

点评：本题考查抽象函数的应用，解（2）的关键是根据题意，分析出f（4）=2，进而用f（4）替换2，其次要注意函数的定义域．