Question

使不等式sin²x+acosx+a²≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：利用公式1=cos²x+sin²x，进行代换，可得cos²x+（1-a）cosx-a²≤0，然后利用换元法和二次函数的性质列出性质进行求解．

解答：解：1-cos²x+acosx+a²≥1+cosx?cos²x+（1-a）cosx-a²≤0，
令t=cosx，
∵x∈R，
∴t∈[-1，1]，
t²+（1-a）t-a²≤0，
∴

1+1-a-a2≤0 1-1+a-a2≤0 a＜0

?

a2+a-2≥0 a2-a≥0 a＜0

?

a≤-2或a≥1 a≤0或a≥1 a＜0

?a≤-2．
故答案为a≤-2．

点评：此题考查函数的恒成立问题，是一道中档题，利用不等式的性质进行求解．