Question

已知椭圆C的对称轴在坐标轴上，且过点，．设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．

Answer 1

解：设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），
由题意得，，即，解得m=，n=1，
所以椭圆的标准方程是：．
联立方程组，消去y得，10x²+36x+27=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB线段的中点为M（x₀，y₀），
则，x₀==-，
所以y₀=x₀+2=．
故线段AB中点坐标为（-，）．
分析：设椭圆方程为mx²+ny²=1（m＞0，n＞0，m≠n），把两点坐标代入可得方程组，解出即可求得椭圆方程，联立直线与椭圆方程构成方程组，消掉y得x的二次方程，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB线段的中点为M（x₀，y₀），由韦达定理及中点坐标公式即可求得x₀，代入直线方程即可求得y₀．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，韦达定理及中点坐标公式是解决该类题目的基础，要熟练掌握．