Question

如图，边长为2的正方形ABCD所在平面为α，PA⊥平面α，PA=2，M、N分别是AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q．
（1）求证平面PMN⊥平面PAD；
（2）求PM与平面PCD所成的角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）要证明平面PMN⊥平面PAD，我们只要证明一个平面经过另一个平面的垂线即可，分析图中已知直线易得，MN⊥平面PAD满足要求，故我们可以先MN⊥平面PAD，然后根据面面垂直的判定定理，即可求解．
（2）要求PM与平面PCD所成角的正弦值，关键是要找到PM在平面PCD上的射影，由MN∥CD，我们根据（1）的结论，易得CD⊥平面PAD，进而得到平面PCD⊥平面PAD，则过M做PD的垂线，则垂足Q，即为M点在平面PCD上的射影，PQ即为PM在平面PCD上的射影，解三角形PMQ，即可得到答案．

解答：解：（1）正方体ABCD中，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
∴MN⊥AD
又∵PA⊥平面α，MN?α，
∴PA⊥MN，
∴MN⊥平面PAD
又MN?平面PAD，平面PMN⊥平面PAD…（5分）
（2）由上可知：MN⊥平面PAD，则CD⊥平面PAD
∴MQ⊥CD，又因为MQ⊥PD，MQ⊥面PCD
∠MPQ是PM与平面PCD所成的角．…（8分）
PA=2，AD=2，则AM=1，PM=

5

PD=2

2

，MQ=

MD•PA

PD

=

2

2

sin∠MpQ=

MQ

PM

=

10

10

…（12分）

点评：本题以线面垂直为载体，考查面面垂直，考查线面角．求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造--作出或找到斜线与射影所成的角；②设定--论证所作或找到的角为所求的角；③计算--常用解三角形的方法求角；④结论--点明斜线和平面所成的角的值．