Question

如图甲，在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，D为．垂足，则AB²=BD•BC，该结论称为射影定理．如图乙，在三棱锥A-BCD中，AD⊥平面ABC，AO⊥平面BCD，O为垂足，且O在△BCD内，类比射影定理，探究S_△ABC、S_△BCO、S_△BCD这三者之间满足的关系是

S△ABC2=S△BCO•S△BCD

．

Answer 1

分析：首先猜想出结论：S△ABC2=S△BCO•S△BCD．，再进行证明：在△BCD内，延长DO交BC于E，连接AE，利用线面垂直的判定与性质可以证出AE⊥BC且DE⊥BC，从而AE、EO、ED分别是△ABC、△BCO、△BCD的边BC的高线，然后在Rt△ADE中，利用已知条件的结论得到AE²=EO•ED，再变形整理得到S△ABC2=S△BCO•S△BCD，说明猜想正确．

解答：解：结论：S△ABC2=S△BCO•S△BCD．
证明如下
在△BCD内，延长DO交BC于E，连接AE，
∵AD⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴BC⊥AD，
同理可得：BC⊥AO
∵AD、AO是平面AOD内的相交直线，
∴BC⊥平面AOD
∵AE、DE?平面AOD
∴AE⊥BC且DE⊥BC
∵△AED中，EA⊥AD，AO⊥DE
∴根据题中的已知结论，得AE²=EO•ED
两边都乘以（

1

2

BC）²，得（

1

2

BC•AE）²=（

1

2

BC•EO）•（

1

2

BC•ED）
∵AE、EO、ED分别是△ABC、△BCO、△BCD的边BC的高线
∴S_△ABC=

1

2

BC•AE，S_△BC0=

1

2

BC•EO，S_△BCD=

1

2

BC•ED
所以有S△ABC2=S△BCO•S△BCD，结论成立．

点评：本题以平面几何中的射影定理为例，将其推广到空间的一个正确的命题并加以证明，着重考查了类比推理和空间的线面垂直的判定与性质等知识点，属于基础题．