Question

如图，将圆分成n个区域，用3种不同颜色给每个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a_n．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄；
（2）求证：a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）直接求出n=1时a₁，n=2时a₂，n=3时a₃，n=4时a₄；的值；
（2）依次对扇形区域染色求出a_n然后说明它与a_n+1（n≥2）的关系式：a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）
（3）由（2）a₂+a₃=3×2²，a₃+a₄=3×2³，…，a_n-1+a_n=3×2^n-1，将上述n-2个等式两边分别乘以（-1）^{k，整理计算即可}．

解答：解：（1）当n=1时，不同的染色方法种数a₁=3，
当n=2时，不同的染色方法种数a₂=3×2=6，
当n=3时，不同的染色方法种数a₃=3×2×1=6，
当n=4时，分扇形区域1，3同色与异色两种情形
∴不同的染色方法种数a₄=3×1×2×2+3×2×1×1=18
（2）证明；依次对扇形区域1，2，3，…，n，n+1染色，不同的染色方法种数为3×2ⁿ（n≥2）
其中扇形区域1与n+1不同色的有a_n+1种，扇形区域1与n+1同色的有a_n种．
∴a_n+a_n+1=3×2ⁿ（n≥2）；    
（3）a₂+a₃=3×2²，a₃+a₄=3×2³，…，a_n-1+a_n=3×2^n-1，将上述n-2个等式两边分别乘以（-1）^k（k=2，3，…，n-1），再相加得an=

3，(n=1) 2n+2•(-1)n(n≥2)

点评：考查排列组合的应用，数列与不等式的关系的应用，数列的求和的基本方法，二项式定理的应用，考查转化思想，计算能力，难度较大