Question

袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为

1

7

，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
（1）求袋中原有白球的个数；
（2）求随机变量ξ的概率分布；
（3）求甲取到白球的概率．

Answer 1

分析：（1）本题是一个等可能事件的概率，设出袋中原有n个白球，写出试验发生包含的事件数和满足条件的事件数，根据等可能事件的概率公式得到关于n的方程，解方程即可．
（2）ξ的所有可能值为：1，2，3，4，5，求出ξ取每一个值时对应的概率，即得分布列，再根据分布列，依据求数学期望的公式求得期望Eξ．
（3）甲先取，甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球．这三种情况是互斥关系，根据互斥事件的概率公式得到结果．

解答：解：（1）设袋中原有n个白球，由题意知

1

7

=

C 2 n

C 2 7

=

n(n-1) 2

7×6 2

=

n(n-1)

7×6

…（3分）
∴n（n-1）=6得n=3或n=-2（舍去），
所以袋中原有3个白球．…（5分）
（2）由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5，
所以P(ξ=1)=

3

7

；  P(ξ=2)=

4×3

7×6

=

2

7

；P(ξ=3)=

4×3×3

7×6×5

=

6

35

； 
P(ξ=4)=

4×3×2×3

7×6×5×4

=

3

35

；P(ξ=5)=

4×3×2×1×3

7×6×5×4×3

=

1

35

…（10分）
所以ξ的分布列为：

ξ	1	2	3	4	5
P	3 7	2 7	6 35	3 35	1 35

…（12分）
（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记”甲取到白球”为事件A，
由题意可得：P（A）=P（”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”）
∵事件”ξ=1”，或”ξ=3”，或”ξ=5”两两互斥，
∴P(A)=P(ξ=1)+P(ξ=3)+P(ξ=5)=

22

35

…（16分）

点评：本题考查随机事件的概率的求法，以及求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法．